Перевод чисел из одной системы счисления в другую: способы и примеры для ОГЭ и ЕГЭ
Перевод чисел между системами счисления почти всегда сводится к одному из трёх приёмов: сложить числа с учётом весов разрядов, делить с остатком или заменять цифры группами битов. В разборе ты увидишь каждый приём на отдельном примере, узнаешь, как проверить ответ за полминуты и где чаще всего ошибаются на экзаменах.
Вес разряда: единственная идея, на которой всё держится
В позиционной системе значение цифры зависит от её места в записи. Если основание системы равно p, то цифра в разряде с номером k (нумерация идёт справа налево, начиная с нуля) вносит вклад «цифра · pk». Поэтому в двоичной системе веса разрядов равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…, а в восьмеричной - 1, 8, 64, 512…
Запомни степени двойки до 210 = 1024: они понадобятся и в переводе, и в задачах про объём информации. Для шестнадцатеричной системы нужны ещё буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Из любой системы в десятичную: складываем вклады цифр
Чтобы перевести число в десятичную систему, умножь каждую цифру на вес её разряда и сложи результаты.
Задача. Переведи 10110012 в десятичную систему.
Решение. В записи семь цифр, веса справа налево: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Единицы стоят в разрядах с весами 64, 16, 8 и 1. Складываем: 64 + 16 + 8 + 1 = 89. Для проверки можно использовать схему Горнера: идём слева направо и каждый раз удваиваем накопленное число и прибавляем следующую цифру: 1, 2, 5, 11, 22, 44, 89.
Ответ: 89.
Задача. Переведи 7C16 в десятичную систему.
Решение. Буква C означает 12. Считаем: 7 · 16 + 12 = 112 + 12 = 124.
Ответ: 124.
Из десятичной в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: делим и читаем остатки снизу вверх
Для обратного перевода число делят на основание новой системы, записывают остаток, а частное снова делят, пока не получится нуль. Остатки читают с конца, то есть от последнего к первому.
Задача. Запиши число 157 в двоичной системе, а затем в восьмеричной и шестнадцатеричной.
Решение. Делим на 2:
| Число | 157 | 78 | 39 | 19 | 9 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Остаток от деления на 2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Читаем остатки снизу вверх, то есть справа налево в таблице: 10011101. Теперь проверим: 128 + 16 + 8 + 4 + 1 = 157. В восьмеричной системе 157 = 2 · 64 + 3 · 8 + 5, то есть 2358. В шестнадцатеричной 157 = 9 · 16 + 13, то есть 9D16.
Ответ: 100111012 = 2358 = 9D16.
Мост между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами
Числа 8 и 16 - степени двойки (23 и 24), поэтому переводить между этими системами через десятичную не нужно. Одна восьмеричная цифра заменяется тремя двоичными, а одна шестнадцатеричная - четырьмя.
| Цифра | 3 бита | 4 бита |
|---|---|---|
| 3 | 011 | 0011 |
| 5 | 101 | 0101 |
| 7 | 111 | 0111 |
| C (12) | — | 1100 |
| D (13) | — | 1101 |
Задача. Запиши 11010111012 в восьмеричной и шестнадцатеричной системах.
Решение. Разбиваем справа налево на тройки: 1 | 101 | 011 | 101. Это цифры 1, 5, 3, 5, получаем 15358. Теперь на четвёрки: 11 | 0101 | 1101. Недостающие нули слева добавляем в первую группу: 0011, это 3. Затем 5 и 13 (D). Получаем 35D16.
Ответ: 15358 и 35D16.
В обратную сторону работает та же замена: 7C16 превращается в 0111 1100, а после удаления ведущего нуля получаем 11111002.
Как это встречается в экзаменационных задачах
В экзамене перевод почти никогда не стоит в чистом виде: он спрятан в условии. Вот два типичных случая.
Задача. В системе счисления с основанием x запись числа 45 соответствует десятичному числу 33. Найди x.
Решение. Записываем вклад разрядов: 4 · x + 5 = 33. Тогда 4x = 28 и x = 7. Проверим допустимость цифр: в системе с основанием 7 цифры 4 и 5 существуют, так как они меньше 7.
Ответ: 7.
Задача. Сколько единиц в двоичной записи значения выражения 810 + 45 − 2?
Решение. Приводим всё к степеням двойки: 810 = 230, 45 = 210. Разность 210 − 2 в двоичной записи - девять единиц и нуль в конце (1111111110). Слагаемое 230 добавляет ещё одну единицу в самом старшем разряде. Всего 10 единиц.
Ответ: 10.
Не пытайся вычислять такие выражения «в лоб»: число 230 слишком велико для ручного перевода, а в виде суммы степеней двойки ответ виден сразу.
Проверка за полминуты
- Все цифры в записи должны быть меньше основания. Цифра 8 в восьмеричном числе означает ошибку в условии или в твоём разборе.
- Чётность: двоичное число оканчивается на 0 тогда и только тогда, когда оно чётное.
- Количество цифр: число 157 больше 128 = 27, но меньше 256 = 28, значит, в его двоичной записи ровно 8 цифр.
- Обратный перевод: сложи вклады цифр результата и убедись, что получилось исходное число.
Закрепить навык можно на тесте по системам счисления: в нём двадцать задач от простых до экзаменационных. А когда будешь разбираться с сетевыми адресами, пригодится умение быстро записывать байты в двоичном виде, о чём подробнее в разборе про IP-адрес и маску сети.
Проверь себя
Чему равно число 3058 в десятичной системе?
Как записывается число A316 в двоичной системе?
Сколько цифр в записи десятичного числа 512 в восьмеричной системе?
Частые вопросы
Можно ли всегда переводить через десятичную систему?
Как не перепутать числа 10 в разных системах?
Что делать с дробной частью числа?
Как быстро запомнить шестнадцатеричные цифры?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.