Разбор, Физика

Уравнение теплового баланса: как найти температуру смеси и решить задачу

Уравнение теплового баланса - это запись закона сохранения энергии для теплообмена: сколько теплоты отдали горячие тела, столько получили холодные, то есть Q отданное = Q полученное. На этой странице ты научишься составлять такое уравнение, находить температуру смеси двух порций воды и считать, до какой температуры остынет горячее тело, опущенное в воду.

8 классчитать около 6 минобновлено 18 октября 2026

Что такое уравнение теплового баланса и когда оно работает?

Уравнение теплового баланса - это равенство количества теплоты, которое отдали остывающие тела, и количества теплоты, которое получили нагревающиеся тела: Q_отд = Q_пол. Оно следует из закона сохранения энергии: при теплообмене внутри замкнутой системы энергия не пропадает, а переходит от горячих тел к холодным. Как именно она передаётся, можно вспомнить в тесте про внутреннюю энергию и теплопередачу.

Коротко. Горячее тело остывает и отдаёт теплоту, холодное нагревается и получает её. Если потерями энергии можно пренебречь, то Q_отд = Q_пол, а теплообмен заканчивается, когда у всех тел устанавливается одна и та же температура θ.

Каждое количество теплоты считают по формуле Q = cmΔt, где c - удельная теплоёмкость вещества, m - масса, Δt - изменение температуры. У остывающего тела Δt = t_нач − θ, у нагревающегося Δt = θ − t_нач. Обе разности получаются положительными, потому что итоговая температура θ всегда лежит между начальными.

В простейшем виде, без слагаемых λm и Lm, уравнение применяют, когда выполнены два условия: теплообмен идёт только между телами системы (в задаче это звучит как «потерями энергии пренебречь») и никто не меняет агрегатное состояние, то есть лёд не тает, а вода не кипит.

Как составить уравнение шаг за шагом

Определи, какие тела отдают теплоту (их начальная температура выше), а какие получают.
Переведи массы в килограммы. Температуры можно оставить в °C: в формулу входит только их разность.
Запиши Q = cmΔt для каждого тела, подставляя положительные разности температур.
Приравняй сумму отданных количеств теплоты к сумме полученных.
Реши уравнение относительно неизвестной величины и проверь, что θ лежит между начальными температурами.

Частая ошибка. Для обоих тел берут Δt как «конечная минус начальная». Тогда для остывающего тела получается отрицательное число, и равенство Q_отд = Q_пол теряет смысл. Для каждого тела пиши из большей температуры меньшую.

Неизвестной может быть что угодно: температура смеси θ, масса одной из порций, начальная температура или удельная теплоёмкость. Алгоритм от этого не меняется.

Какая температура получится при смешивании воды разной температуры?

Когда смешивают порции одного вещества, удельная теплоёмкость c в обеих частях уравнения одинакова и сокращается: m₁(t₁ − θ) = m₂(θ − t₂). Отсюда θ = (m₁t₁ + m₂t₂) / (m₁ + m₂). Это среднее, взвешенное по массам, а не просто среднее арифметическое.

Задача 1. В ведро налили 3 кг воды при 80 °C и добавили 2 кг воды при 30 °C. Какая температура установится? Потерями энергии пренебречь, c воды 4 200 Дж/(кг×°C).

Решение. Горячая вода отдаёт: Q_отд = 4 200 × 3 × (80 − θ). Холодная получает: Q_пол = 4 200 × 2 × (θ − 30). Приравниваем и сокращаем 4 200: 3(80 − θ) = 2(θ − 30), то есть 240 − 3θ = 2θ − 60. Тогда 5θ = 300 и θ = 60 °C. Проверка: 4 200 × 3 × 20 = 252 000 Дж и 4 200 × 2 × 30 = 252 000 Дж.

Ответ: 60 °C.

Задача 2. В 10 кг воды при 90 °C долили холодную воду при 15 °C, и в ванне стало 45 °C. Сколько холодной воды долили?

Решение. Горячая вода остыла на 90 − 45 = 45 °C, холодная нагрелась на 45 − 15 = 30 °C. Уравнение: 10 × 45 = m × 30, откуда m = 450 / 30 = 15 кг. Проверка: 4 200 × 10 × 45 = 1 890 000 Дж и 4 200 × 15 × 30 = 1 890 000 Дж.

Ответ: 15 кг.

Что происходит, когда горячее тело опускают в воду?

Теперь вещества разные, и удельные теплоёмкости сокращаться не будут. Так решают задачи про нагретую металлическую деталь, которую опускают в воду.

Задача 3. Свинцовую деталь массой 2 кг нагрели в кипятке до 100 °C и опустили в 1 кг воды при 20 °C. Какая температура установится? Удельная теплоёмкость свинца 140 Дж/(кг×°C), воды 4 200 Дж/(кг×°C).

Решение. Деталь отдаёт Q_отд = 140 × 2 × (100 − θ) = 280(100 − θ). Вода получает Q_пол = 4 200 × 1 × (θ − 20). Приравниваем: 28 000 − 280θ = 4 200θ − 84 000. Собираем θ: 112 000 = 4 480θ, значит θ = 25 °C.

Ответ: 25 °C.

Тело	cm, Дж/°C	Изменение температуры, °C	Q, Дж
Свинцовая деталь	280	100 − 25 = 75	21 000
Вода	4 200	25 − 20 = 5	21 000

Таблица показывает полезный приём. Произведение cm у воды в 15 раз больше, чем у детали, поэтому при равных Q температура воды меняется в 15 раз меньше: 75 / 5 = 15. Чем больше cm, тем меньше изменение температуры, и итоговая температура ближе к начальной температуре тела с большим cm.

Почему на опыте результат чуть отличается от расчёта

В опыте температура смеси обычно получается немного ниже расчётной: часть теплоты идёт на нагревание сосуда и уходит в воздух. В задачах для 8 класса этим пренебрегают, если не сказано иное.

Если одно из тел меняет агрегатное состояние, в уравнение добавляют слагаемое для этого перехода. Например, лёд при 0 °C поглощает теплоту λm, пока тает, и только потом получаемая энергия нагревает образовавшуюся воду. Такие задачи удобно решать по этапам: сначала выяснить, хватит ли отданной теплоты, чтобы расплавить весь лёд.

Частая ошибка. Считать температуру смеси как среднее арифметическое, не глядя на массы. Для порций 4 кг при 20 °C и 1 кг при 70 °C среднее арифметическое даёт 45 °C, а верный ответ 30 °C: большая порция почти не меняет свою температуру.

Как проверить ответ и что делать дальше

Короткая проверка ответа занимает полминуты. Убедись, что выполняются все условия:

θ лежит между начальными температурами тел и не выходит за них;
θ ближе к начальной температуре того тела, у которого больше произведение cm;
подставив θ, получаешь одинаковые Q_отд и Q_пол;
массы переведены в килограммы, а теплоёмкости взяты из условия.

Чтобы закрепить расчёты, пройди тест про количество теплоты и удельную теплоёмкость, посмотри разбор задач на количество теплоты, а потом потренируйся с тренажёром и ИИ-репетитором в кабинете VortexLearn.

Проверь себя

К 4 кг воды при 20 °C добавили 1 кг воды при 70 °C. Какая температура установится, если потерями энергии пренебречь?

Сколько воды при 20 °C нужно добавить к 1 кг кипятка (100 °C), чтобы получить воду температурой 40 °C?

Две порции воды разной массы и температуры смешали, потерь энергии нет. Какое утверждение о температуре смеси θ верно?

Частые вопросы

Что такое уравнение теплового баланса?

Уравнение теплового баланса - это равенство Q отданное = Q полученное: количество теплоты, отданное остывающими телами, равно количеству теплоты, полученному нагревающимися. Оно выражает закон сохранения энергии при теплообмене в замкнутой системе.

Почему в уравнении теплового баланса разности температур берут положительными?

В уравнении теплового баланса Q отданное и Q полученное записывают как положительные величины, поэтому для остывающего тела берут разность t начальная минус θ, а для нагревающегося - θ минус t начальная. Тогда обе части равенства положительны и сравнивать их удобно.

Всегда ли температура смеси равна среднему арифметическому начальных температур?

Нет, температура смеси равна среднему арифметическому только для равных масс одного и того же вещества. Если массы разные, итоговая температура ближе к температуре более тяжёлой порции.

Где потренироваться после этой темы?

Сначала пройди на сайте тест про количество теплоты и удельную теплоёмкость. В кабинете VortexLearn есть тренажёр заданий по физике и ИИ-репетитор, который объяснит ошибку в уравнении другими словами. Демо бесплатное, регистрация нужна только для кабинета.

Читай дальше

Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.