Арифметическая прогрессия: формулы и разбор задач для ОГЭ
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается прибавлением одного и того же числа. Для неё нужны всего две формулы: для n-го члена и для суммы первых n членов. Ниже они выведены простыми словами, а затем применены в трёх задачах разной сложности и в проверке того, входит ли число в прогрессию.
Прибавляем одно и то же число
В прогрессии 4; 7; 10; 13; … каждое число на 3 больше предыдущего. Это число называют разностью и обозначают d. Первый член обозначают a1, второй a2, и так далее, а общий член с номером n - an.
Если d > 0, прогрессия возрастает, если d < 0 - убывает. Например, 20; 17; 14; … убывает с разностью d = −3. Чтобы найти разность, вычти из любого члена предыдущий: d = a2 − a1.
Формулы, которых достаточно
Чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно сделать n − 1 шаг по d. Отсюда an = a1 + (n − 1) · d.
Сумма первых n членов считается как среднее арифметическое первого и последнего члена, умноженное на их количество: Sn = (a1 + an) · n / 2. Эту формулу можно записать и без последнего члена: Sn = (2a1 + (n − 1)d) · n / 2.
Задача 1. Член прогрессии и сумма
Задача. Арифметическая прогрессия задана условиями a1 = 5 и d = 3. Найди a20 и сумму первых двадцати членов.
Решение. a20 = 5 + 19 · 3 = 62. Сумма S20 = (5 + 62) · 20 / 2 = 67 · 10 = 670.
Ответ: 62 и 670.
Задача 2. Известны два члена, ищем начало
Задача. В арифметической прогрессии a4 = 17 и a9 = 42. Найди a1 и d.
Решение. От четвёртого члена до девятого пять шагов, значит, 42 − 17 = 5d, откуда d = 5. Первый член на три шага раньше четвёртого: a1 = 17 − 3 · 5 = 2. Проверка: a9 = 2 + 8 · 5 = 42.
Ответ: a1 = 2, d = 5.
Этот приём короче, чем составлять систему уравнений, но хорошо работает, только если ты правильно считаешь число шагов между номерами: от 4 до 9 это 9 − 4 = 5 шагов.
Задача 3. Сумма чисел с условием
Задача. Найди сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
Решение. Такие числа образуют прогрессию 14; 21; …; 98 с разностью d = 7. Найдём число членов из формулы: 98 = 14 + (n − 1) · 7, откуда n − 1 = 12 и n = 13. Сумма: (14 + 98) · 13 / 2 = 112 · 13 / 2 = 728.
Ответ: 728.
Свойство соседей и задача про зал
У арифметической прогрессии есть удобное свойство: каждый член, кроме крайних, равен среднему арифметическому соседей. Если числа 7; x; 19 образуют прогрессию, то x = (7 + 19) / 2 = 13, разность равна 6.
Задача. В зале 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в зале?
Решение. Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию с a1 = 20 и d = 2. В последнем ряду a12 = 20 + 11 · 2 = 42 места. Всего мест: (20 + 42) · 12 / 2 = 62 · 6 = 372.
Ответ: 372 места.
В текстовых задачах сначала выпиши, что здесь играет роль a1, d и n. После этого остаётся подставить числа в формулы.
Входит ли число в прогрессию и типичные ошибки
Если сомневаешься, подставь в формулу маленькие номера: a1 должно получиться при n = 1, а a2 = a1 + d при n = 2.
Чтобы выяснить, является ли число членом прогрессии, подставь его в формулу и найди n. Если n натуральное, число входит в прогрессию. Возьмём прогрессию 8; 13; 18; … с an = 8 + 5(n − 1). Для 98: 5(n − 1) = 90, n = 19, число входит. Для 100: 5(n − 1) = 92, n = 19,4, а такого номера не бывает.
- Для убывающей прогрессии d отрицательно, и его знак нельзя терять.
- В формуле суммы делят на 2 всё произведение, а не только n.
Заметь, что an линейно зависит от n, поэтому точки прогрессии лежат на одной прямой. Об этом можно прочитать в разборе графика линейной функции, а закрепить навыки с уравнениями можно в тесте по линейным уравнениям.
Проверь себя
В арифметической прогрессии a1 = −3 и d = 4. Найди a11.
Найди сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2; 5; 8; …
Прогрессия 20; 17; 14; … убывает. Какой по номеру её первый отрицательный член?
Частые вопросы
Как понять, что последовательность - арифметическая прогрессия?
Какую формулу суммы использовать, если известны a1 и d?
Может ли разность прогрессии быть нулём?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.