График линейной функции y = kx + b: как строить и читать
Графиком линейной функции y = kx + b всегда служит прямая, и вся информация о ней спрятана в двух числах: k и b. Научившись быстро понимать, что они означают, ты сможешь построить график за минуту, восстановить формулу по рисунку и ответить на вопросы о параллельности и пересечении. Ниже четыре разобранных задачи и список ошибок, которые чаще всего встречаются на экзамене.
Что значат числа k и b
В формуле y = kx + b число b показывает, где прямая пересекает ось Oy: это точка (0; b). Число k называют угловым коэффициентом, оно задаёт наклон: при увеличении x на 1 значение y меняется на k.
- При k > 0 функция возрастает, прямая идёт «вверх» слева направо.
- При k < 0 функция убывает, прямая идёт «вниз».
- При k = 0 получается горизонтальная прямая y = b.
Чем больше |k|, тем круче прямая. Например, график y = 3x круче, чем y = x, а график y = −3x круче, чем y = −x, но наклонён в другую сторону.
Построение по двум точкам
Через две точки проходит ровно одна прямая, поэтому для графика достаточно найти две точки. Удобнее брать значения x, при которых счёт проще всего: x = 0 и ещё одно небольшое целое число.
Задача. Построй график функции y = 2x − 3.
Решение. При x = 0 получаем y = −3, точка (0; −3). При x = 2 получаем y = 2 · 2 − 3 = 1, точка (2; 1). Отмечаем эти точки на плоскости и проводим через них прямую. Для проверки возьмём третью точку: x = 1 даёт y = −1, и точка (1; −1) должна оказаться на прямой.
Формула по двум точкам графика
Если дан график и на нём видны две точки с понятными координатами, формула восстанавливается за два шага. Сначала находим k как отношение приращений: k = (y2 − y1) / (x2 − x1). Потом подставляем одну из точек и находим b.
Задача. Прямая проходит через точки (1; 5) и (3; 1). Задай её формулой.
Решение. k = (1 − 5) / (3 − 1) = −4 / 2 = −2. Подставляем точку (1; 5): 5 = −2 · 1 + b, откуда b = 7. Формула y = −2x + 7. Проверка по второй точке: −2 · 3 + 7 = 1, всё сходится.
Ответ: y = −2x + 7.
Параллельные прямые и точка пересечения
Две прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны, когда k1 = k2 и b1 ≠ b2. Если угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке.
Задача 1. Составь формулу прямой, параллельной y = 3x + 1 и проходящей через точку (2; 4).
Решение. У параллельной прямой тот же коэффициент k = 3. Подставим точку: 4 = 3 · 2 + b, отсюда b = −2.
Ответ: y = 3x − 2.
Задача 2. Найди точку пересечения прямых y = 2x − 3 и y = −x + 6.
Решение. В точке пересечения значения y равны: 2x − 3 = −x + 6, откуда 3x = 9 и x = 3. Тогда y = 2 · 3 − 3 = 3.
Ответ: (3; 3).
Принадлежит ли точка графику и где график пересекает оси
Чтобы выяснить, лежит ли точка на графике, подставь её координаты в формулу. Для точки (−1; −5) и прямой y = 2x − 3 получаем 2 · (−1) − 3 = −5. Равенство верно, значит, точка принадлежит графику.
Пересечение с осью Oy найти просто: это (0; b). Для пересечения с осью Ox нужно положить y = 0 и решить линейное уравнение. Для y = 2x − 3 имеем 2x − 3 = 0, x = 1,5, точка (1,5; 0).
Как не потерять ответ на проверке
На экзамене графики часто даны на клетчатой бумаге. Тогда k считается прямо по клеткам: отметь две точки с целыми координатами, посчитай, на сколько клеток вверх (или вниз) идёт прямая при сдвиге на одну клетку вправо. Это число и есть k, а b читается там, где прямая пересекает вертикальную ось.
- Подставь вторую точку в получившуюся формулу: если не сходится, ошибка в k или b.
- Сравни направление графика со знаком k: возрастающей прямой не может соответствовать отрицательное k.
- Сравни точку пересечения с осью Oy и число b.
Линейная зависимость встречается и в других темах. Например, общий член арифметической прогрессии линеен по номеру, об этом мы пишем в разборе арифметической прогрессии. А уравнения вида kx + b = 0 можно потренировать в тесте по линейным уравнениям.
Проверь себя
В какой точке график функции y = −3x + 2 пересекает ось Oy?
Найди угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (0; 1) и (4; 9).
Какая из точек лежит на графике функции y = 2x − 3?
Частые вопросы
Сколько точек нужно для построения графика линейной функции?
Как по формуле понять, возрастает функция или убывает?
Чем отличается график y = kx от y = kx + b?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.