Площадь треугольника: какую формулу выбрать и как не ошибиться
Площадь треугольника можно найти несколькими способами, и выбор нужной формулы зависит от того, что дано в условии. Новичков чаще подводит не вычисление, а выбор: берут высоту, проведённую к другой стороне, или забывают делить на два. В этом разборе есть таблица, по которой формула выбирается за несколько секунд, и четыре примера с подробным решением.
Шпаргалка: от условия к формуле
Прежде чем считать, посмотри, что именно известно. Эта таблица помогает не перебирать всё подряд.
| Что дано | Формула |
|---|---|
| Сторона и высота, проведённая к ней | S = a · h / 2 |
| Две стороны и угол между ними | S = ½ · a · b · sin γ |
| Три стороны | формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p - полупериметр |
| Катеты прямоугольного треугольника | S = a · b / 2 |
| Радиус вписанной окружности r | S = p · r |
Основание и высота: самая частая формула
Задача. В треугольнике сторона равна 9, а проведённая к ней высота равна 8. Найди площадь.
Решение. S = 9 · 8 / 2 = 36.
Ответ: 36.
Когда известен угол: синус вместо высоты
Если высоты нет, но известны две стороны и угол между ними, на помощь приходит синус. Высота к стороне a равна b · sin γ, и формула «основание на высоту пополам» превращается в S = ½ · a · b · sin γ.
Задача. Две стороны треугольника равны 10 и 7, угол между ними 30°. Найди площадь.
Решение. sin 30° = 1/2. Тогда S = ½ · 10 · 7 · ½ = 17,5.
Ответ: 17,5.
Угол в формуле должен лежать именно между двумя взятыми сторонами. Для тупого угла помни: синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого, поэтому sin 150° = sin 30° = 1/2.
Три стороны: формула Герона
Если известны только длины сторон, используют формулу Герона. Сначала находят полупериметр p = (a + b + c) / 2.
Задача. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найди площадь и высоту, проведённую к стороне 14.
Решение. p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21. Разности: p − 13 = 8, p − 14 = 7, p − 15 = 6. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7 056 = 84. Высоту к стороне 14 находим из S = a · h / 2: h = 2 · 84 / 14 = 12.
Ответ: площадь 84, высота 12.
Попутно можно найти радиус вписанной окружности: r = S / p = 84 / 21 = 4.
Особые треугольники считаются быстрее
- Прямоугольный треугольник. Один катет - основание, второй - высота, поэтому S = ab / 2. Не нужно искать гипотенузу.
- Равносторонний треугольник со стороной a. S = a²√3 / 4. При a = 6 получаем 36√3 / 4 = 9√3.
- Равнобедренный треугольник. Высота к основанию делит его пополам и образует прямоугольный треугольник. Для этого понадобится теорема Пифагора.
Прямоугольный треугольник и вписанная окружность
В прямоугольном треугольнике площадь проще всего найти по катетам, а потом использовать её для других величин. Формула S = p · r связывает площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности.
Задача. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найди площадь, высоту к гипотенузе и радиус вписанной окружности.
Решение. Гипотенуза равна √(25 + 144) = 13. Площадь S = 5 · 12 / 2 = 30. Высоту к гипотенузе находим из S = 13 · h / 2: h = 60 / 13, примерно 4,6. Полупериметр p = (5 + 12 + 13) / 2 = 15, поэтому r = S / p = 30 / 15 = 2.
Ответ: площадь 30, радиус вписанной окружности 2, высота к гипотенузе 60/13.
Полезный факт: чем длиннее сторона, тем короче высота, проведённая к ней, потому что произведение стороны на её высоту всегда равно 2S. В треугольнике со сторонами 6, 8 и 10 высоты к ним равны 8, 6 и 4,8.
Как перепроверить ответ
Ещё один контроль - прикинуть площадь по рисунку. Площадь треугольника заведомо меньше площади прямоугольника, описанного вокруг него, и больше нуля. Если в задаче стороны 13, 14 и 15, площадь около 84 выглядит разумно, а значение 300 сразу выдаёт ошибку в расчёте. Такая прикидка занимает несколько секунд и спасает от опечаток.
Площадь треугольника с основанием a и высотой h в два раза меньше площади прямоугольника a × h. Если твой ответ больше, чем a · h, где-то ошибка. А если считал по формуле Герона, результат стоит проверить другой формулой: в примере с 13, 14, 15 высота 12 и сторона 14 дают 14 · 12 / 2 = 84, ответ совпал.
Потренироваться на задачах по площадям и окружности можно в тесте по площадям фигур.
Проверь себя
Две стороны треугольника равны 8 и 15, угол между ними равен 30°. Найди площадь треугольника.
Найди площадь равностороннего треугольника со стороной 4.
Стороны треугольника равны 5, 5 и 6. Найди его площадь.
Частые вопросы
Какую формулу площади треугольника выбрать, если в условии не указано, какая нужна?
Почему в формуле площади треугольника стоит деление на 2?
Можно ли пользоваться формулой Герона для прямоугольного треугольника?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.