Теорема Пифагора: как применять и решать задачи на ОГЭ
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника и нужна почти в каждой геометрической задаче, где есть прямой угол: в прямоугольниках, ромбах, равнобедренных треугольниках и даже на координатной плоскости. Здесь коротко повторим формулировку, посмотрим таблицу готовых троек и разберём пять задач разной сложности с подробными шагами.
Теорема в двух строках
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Гипотенуза - это сторона, которая лежит против прямого угла, и она всегда самая длинная.
Работает и обратная теорема: если для сторон треугольника выполняется равенство c² = a² + b², то он прямоугольный. Это полезно, когда нужно выяснить, есть ли в треугольнике прямой угол.
Тройки чисел, которые стоит узнавать сразу
Некоторые наборы целых чисел удовлетворяют теореме. Знать их полезно: часто в задаче достаточно заметить такую тройку, чтобы не считать корни.
| Катеты | Гипотенуза | Проверка |
|---|---|---|
| 3 и 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 и 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 и 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 и 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Если все числа тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка: из 3, 4, 5 выходят 6, 8, 10 и 9, 12, 15.
Диагональ прямоугольника
Задача. Диагональ прямоугольника равна 20, одна из его сторон равна 16. Найди другую сторону.
Решение. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых диагональ - гипотенуза. Искомая сторона x - катет: x² = 20² − 16² = 400 − 256 = 144, откуда x = 12. Можно было заметить тройку: числа 12, 16, 20 получаются из 3, 4, 5 умножением на 4.
Ответ: 12.
Высота равнобедренного треугольника
Задача. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17, а основание равно 16. Найди высоту, проведённую к основанию, и площадь треугольника.
Решение. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, поэтому делит основание на части по 8. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 и катетом 8. Тогда h² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, значит, h = 15. Площадь равна 16 · 15 / 2 = 120.
Ответ: высота 15, площадь 120.
Расстояние между точками на плоскости
Если у отрезка нет прямого угла, его можно сам превратить в гипотенузу: достаточно провести горизонтальный и вертикальный отрезки и получить прямоугольный треугольник.
Задача. Найди длину отрезка AB, если A(−2; 1) и B(4; 9).
Решение. Разность абсцисс 4 − (−2) = 6, разность ординат 9 − 1 = 8. Это катеты, поэтому AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, AB = 10.
Ответ: 10.
Для любых точек формула такая: AB = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²).
Ромб и лестница: прямой угол спрятан
В некоторых задачах прямого угла на рисунке нет, но он есть по свойствам фигуры. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, а стена и пол образуют прямой угол, на который опирается лестница.
Задача. Сторона ромба равна 13, одна из диагоналей равна 24. Найди вторую диагональ.
Решение. Диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому половина первой диагонали равна 12. Это катет прямоугольного треугольника, в котором сторона ромба 13 - гипотенуза. Второй катет равен √(13² − 12²) = √25 = 5, а вся вторая диагональ 2 · 5 = 10.
Ответ: 10.
Задача. Лестница длиной 2,5 м стоит у вертикальной стены, а её нижний конец отстоит от стены на 1,5 м. На какой высоте верхний конец лестницы?
Решение. Лестница - гипотенуза, расстояние до стены - катет. Высота h = √(2,5² − 1,5²) = √(6,25 − 2,25) = √4 = 2. Снова знакомая тройка: 1,5; 2; 2,5 - это 3; 4; 5, делённые на 2.
Ответ: 2 м.
Ошибки, которые стоят верного ответа
Если в задаче нет готового чертежа, нарисуй его сам и обозначь неизвестную величину буквой. Часто прямоугольный треугольник получается после опускания высоты или проведения диагонали, и после этого остаётся составить одно уравнение c² = a² + b².
- Применять теорему к неприямоугольному треугольнику. Сначала убедись, что прямой угол есть.
- Принять за гипотенузу не ту сторону. Гипотенуза лежит против прямого угла.
- Складывать стороны вместо квадратов: 6 + 8 = 14, но гипотенуза 10, а не 14.
- Забыть извлечь корень: 6² + 8² = 100 - это c², а не c.
Чтобы потренироваться, пройди тест по треугольникам. А если нужно найти площадь после того, как стороны известны, пригодится разбор формул площади треугольника.
Проверь себя
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найди гипотенузу.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, один из катетов равен 7. Найди второй катет.
Стороны треугольника равны 8, 15 и 17. Является ли он прямоугольным?
Частые вопросы
Для каких треугольников верна теорема Пифагора?
Как проверить, что треугольник прямоугольный, если известны три стороны?
Можно ли применять теорему Пифагора в прямоугольнике и ромбе?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.