Вероятность события: классическое определение и как решать задачи
Вероятность события в школьных задачах считается по одной формуле: число благоприятных исходов делим на число всех исходов. Трудности начинаются не в самой формуле, а в аккуратном подсчёте. В этом разборе показано, в каких случаях формула применима, как выписывать исходы для двух кубиков, как использовать противоположное событие и какие ошибки встречаются чаще всего.
Формула, которую лучше понять, чем заучить
Классическая вероятность вычисляется так: P = m / n, где n - число всех возможных исходов опыта, а m - число исходов, при которых интересующее событие происходит.
Из формулы сразу видно, что вероятность не бывает отрицательной и не бывает больше 1, потому что благоприятных исходов не может быть больше, чем всех. Вероятность 0 означает невозможное событие, вероятность 1 - достоверное. Ответ вида 1,3 или −0,2 говорит о том, что где-то ошибка в подсчёте.
Когда формула работает, а когда нет
Формула верна, если все исходы равновозможны: ни один не имеет преимущества. Так устроены правильная монета, игральный кубик, шары в коробке, которые достают не глядя.
Если исходы неравновозможны, формулу применять нельзя. Например, событие «завтра будет дождь» имеет два исхода («будет» и «не будет»), но вероятность дождя вовсе не обязана равняться 1/2. Поэтому всегда читай условие: сказано ли, что выбор случайный и что монета симметричная.
Первый пример: выбираем из набора
Задача. В коробке 9 синих, 6 чёрных и 5 красных ручек. Одну ручку достают наугад. Какова вероятность, что она чёрная или красная?
Решение. Всего исходов 9 + 6 + 5 = 20. Благоприятных 6 + 5 = 11, потому что подходит и чёрная, и красная ручка. Вероятность 11 / 20 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Проверим другим путём: не подходит только синяя ручка, вероятность достать её 9 / 20 = 0,45. Тогда 1 − 0,45 = 0,55, ответы совпали.
Два кубика: записываем все исходы
При броске двух кубиков исходов 6 · 6 = 36, и это пары (a; b), где a - число на первом кубике, а b - на втором. Пары (2; 5) и (5; 2) - разные исходы. Из-за этого суммы очков встречаются с разной вероятностью:
| Сумма | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Число пар | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Задача. Два игральных кубика бросают один раз. Какова вероятность того, что сумма очков равна 9?
Решение. Подходят пары (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), то есть 4 исхода из 36. Вероятность 4 / 36 = 1/9.
Ответ: 1/9, примерно 0,11.
«Хотя бы один»: идём от противного
Когда в условии есть слова «хотя бы один», перечислять все подходящие варианты долго. Проще найти вероятность противоположного события («ни одного») и вычесть её из 1.
Задача. Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз?
Решение. Всего исходов 2 · 2 · 2 = 8. Единственный исход без орлов - РРР, его вероятность 1/8. Значит, нужная вероятность равна 1 − 1/8 = 7/8 = 0,875.
Ответ: 0,875.
Несколько испытаний подряд
Если опыт повторяется, вероятности отдельных шагов перемножаются, но только когда шаги не влияют друг на друга. Выстрелы стрелка независимы: промах в первый раз не меняет шанс попасть во второй.
Задача. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9. Он делает два выстрела. Найди вероятность того, что он попадёт оба раза, и вероятность того, что попадёт хотя бы один раз.
Решение. Оба раза: 0,9 · 0,9 = 0,81. Противоположное событие для «хотя бы один» - два промаха: 0,1 · 0,1 = 0,01. Значит, хотя бы одно попадание: 1 − 0,01 = 0,99.
Ответ: 0,81 и 0,99.
Если же предмет не возвращают, вероятности меняются. В пакете 4 конфеты с вишней и 6 с карамелью. Берут две конфеты подряд. Первая вишнёвая с вероятностью 4/10. После этого в пакете 9 конфет, вишнёвых 3, значит, вторая вишнёвая с вероятностью 3/9. Обе вишнёвые: 4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15.
Что проверить перед ответом
- Убедись, что исходы равновозможны, а n посчитано полностью.
- Не путай «или» и «и»: для «или» благоприятные исходы складываются, для «и» (несколько независимых испытаний) вероятности перемножаются.
- Если ответ получился больше 1 или отрицательным, ищи ошибку в подсчёте.
- В экзамене ответ обычно нужен в виде десятичной дроби, поэтому переведи 7/8 в 0,875.
Для перевода дробей в десятичные удобно держать под рукой разбор действий с дробями, а закрепить навык можно в тесте по вероятности.
Проверь себя
В корзине 12 яблок: 5 красных, остальные зелёные. Одно яблоко берут наугад. Какова вероятность, что оно зелёное?
Два кубика бросают один раз. Какова вероятность того, что сумма очков равна 4?
Кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет хотя бы один раз?
Частые вопросы
Что такое равновозможные исходы?
Чему равна вероятность невозможного и достоверного события?
Как записывать ответ в задаче на вероятность?
Чем отличается вероятность от процента?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.