Квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета на примерах
Квадратное уравнение можно решить тремя способами: по формуле через дискриминант, подбором корней по теореме Виета и выносом множителя в неполных случаях. Хорошо знать все три, потому что быстрее всего решает тот, кто выбирает способ по виду уравнения. Здесь собраны правила, четыре разобранных примера, типичные ошибки со знаками и способы проверить найденные корни.
Сначала посмотри, на что похоже уравнение
Квадратное уравнение записывается как ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b, c называются коэффициентами, и знак у каждого из них - часть коэффициента. В уравнении 3x² − 5x + 2 = 0 коэффициент b равен −5, а не 5.
Если b = 0 или c = 0, уравнение называется неполным, и дискриминант там не нужен. Если a = 1, уравнение приведённое, и корни часто находятся устно. Всё остальное решается по формуле. Прежде чем считать, потрать пять секунд на то, чтобы определить вид.
Дискриминант: формула и три случая
Дискриминант вычисляется по формуле D = b² − 4ac. Его значение сразу отвечает на вопрос, сколько корней у уравнения.
- D > 0: два корня, x = (−b ± √D) / (2a).
- D = 0: один корень, x = −b / (2a).
- D < 0: действительных корней нет.
Задача 1. Реши уравнение 2x² − 5x − 3 = 0.
Решение. Здесь a = 2, b = −5, c = −3. D = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49, √D = 7. Корни: x = (5 + 7) / 4 = 3 и x = (5 − 7) / 4 = −1/2.
Ответ: 3 и −0,5.
Задача 2. Реши уравнение 4x² + 12x + 9 = 0.
Решение. D = 12² − 4 · 4 · 9 = 144 − 144 = 0. Корень один: x = −12 / 8 = −1,5. Это согласуется с тем, что левая часть равна (2x + 3)².
Ответ: −1,5.
Теорема Виета: корни без вычислений
Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Для общего уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, а произведение c/a.
Задача 3. Найди корни уравнения x² − 11x + 24 = 0, не вычисляя дискриминант.
Решение. Нужны два числа с суммой 11 и произведением 24. Перебираем пары множителей 24: 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8, 4 и 6. Сумма 11 бывает у пары 3 и 8.
Ответ: 3 и 8.
Виета удобна и для проверки. В задаче 1 корни 3 и −1/2: их сумма 3 − 1/2 = 5/2 равна −b/a = 5/2, а произведение −3/2 равно c/a = −3/2. Если оба равенства сошлись, ошибка в вычислениях маловероятна.
Неполные уравнения: не доставай дискриминант зря
Если нет члена с x, перенеси свободный член и извлеки корень: x² = 49 даёт x = 7 или x = −7, а уравнение x² = −9 не имеет корней.
Если нет свободного члена, вынеси x за скобки. Например, 5x² − 20x = 0 превращается в 5x(x − 4) = 0, откуда x = 0 или x = 4.
Где ошибаются чаще всего
- Знак перед b. В формуле стоит −b. Для b = −2 получается +2, а не −2.
- Знаменатель формулы. Делится на 2a всё выражение (−b ± √D), а не только корень.
- Квадрат отрицательного числа. (−5)² = 25, а не −25. Особенно легко ошибиться на калькуляторе или при быстрой записи.
- Знак произведения 4ac. Если a и c имеют разные знаки, то ac отрицательно, и слагаемое −4ac становится положительным: дискриминант получается больше b².
Задача 4. Реши уравнение 3x² − 2x − 1 = 0.
Решение. a = 3, b = −2, c = −1. D = 4 − 4 · 3 · (−1) = 4 + 12 = 16, √D = 4. Корни x = (2 + 4) / 6 = 1 и x = (2 − 4) / 6 = −1/3.
Ответ: 1 и −1/3.
Что делать после ответа
Если решение вышло слишком громоздким, остановись и ещё раз посмотри на уравнение: возможно, его можно упростить, разделив все коэффициенты на общий множитель или вынеся что-то за скобки. Например, 4x² − 8x − 12 = 0 проще решать после деления на 4: x² − 2x − 3 = 0, корни 3 и −1.
Подставь один из корней в исходное уравнение. Для x = 1 в задаче 4 получается 3 − 2 − 1 = 0, значит, всё верно. Если корни дробные, проверь суммой и произведением по теореме Виета.
Если уравнение пришло из текстовой задачи, обязательно отбрось корни, не подходящие по смыслу: отрицательную длину, нецелое число людей. А задачи с прямоугольным треугольником часто приводят к квадратному уравнению, об этом есть отдельный разбор теоремы Пифагора. Чтобы закрепить, пройди тест по квадратным уравнениям.
Проверь себя
Чему равен дискриминант уравнения x² + 4x − 5 = 0?
Найди корни уравнения x² − 7x + 10 = 0.
Найди все корни уравнения 3x² − 12 = 0.
Частые вопросы
Можно ли любое квадратное уравнение решить через дискриминант?
Что делать, если коэффициенты дробные?
Когда удобнее теорема Виета, а когда дискриминант?
Почему при D = 0 говорят об одном корне?
Читай дальше
Материалы подготовлены с помощью ИИ и проверены автоматически: все вычисления пересчитаны программой, а ответы сверены независимым решением. Если нашёл ошибку или неточность, напиши на vortexlearn.offical@gmail.com - исправим.